Albrecht Schuch wuchs in Jena als Sohn einer Ärztin und eines Psychiaters auf. Er spielt seit 2001 Theater. Seine Schauspielausbildung absolvierte er von 2006 bis 2010 an der Hochschule für Musik und Theater „Felix Mendelssohn Bartholdy“ Leipzig. Mit der Spielzeit 2010/2011 ist Schuch festes Ensemblemitglied des Maxim-Gorki-Theaters in Berlin.

Seit Ende der 2000er-Jahre trat Schuch auch in über 20 Film- und Fernsehproduktionen in Erscheinung. Einem größeren Publikum wurde er durch die Hauptrolle des Anti-Aggressions-Trainers eines 9-jährigen Mädchens in Systemsprenger (2019) und der Nebenrolle des Psychopathen Reinhold in Berlin Alexanderplatz (2020) bekannt. Bei der Verleihung des Deutschen Filmpreises 2020 wurden ihm beide Darstellerpreise zuerkannt. An diesen Erfolg anknüpfen konnte er mit der Titelrolle in Andreas Kleinerts Filmbiografie Lieber Thomas (2021). Seine Darstellung des Thomas Brasch brachte ihm den Bayerischen Filmpreis und erneut den Deutschen Filmpreis ein.

Im Jahr 2023 wurde er für die Nebenrolle des Stanislaus Katczinsky in Edward Bergers Kriegsdrama Im Westen nichts Neues für den British Academy Film Award nominiert und gewann seinen vierten Deutschen Filmpreis.

Albrecht Schuch lebt in Berlin-Neukölln. Seine Schwester Karoline Schuch ist ebenfalls Schauspielerin.