Scott wurde am 21. Oktober 1976 in Dublin als Sohn von Nora und Jim Scott geboren. Seine Mutter war Kunstlehrerin, während sein Vater bei einer Arbeitsvermittlung arbeitete.
Er hat eine ältere Schwester namens Sarah und eine jüngere Schwester namens Hannah. Er wurde katholisch erzogen, hat seinen Glauben jedoch inzwischen aufgegeben.
Im Alter von 17 Jahren wurde sie für die Hauptrolle in ihrem ersten Film, Korea, ausgewählt. Er erhielt ein Stipendium für die Kunstschule, entschied sich jedoch für ein Schauspielstudium am Trinity College Dublin. Er verließ das Theater nach sechs Monaten, um sich dem Abbey Theatre in Dublin anzuschließen.
Für seine Rolle in der BBC-Serie Sherlock gewann er den BAFTA Television Award als bester Nebendarsteller.
Scott ist außerdem für seine Darstellung eines Priesters in der zweiten Staffel von Fleabag bekannt, für die er für den Golden Globe Award als Bester Nebendarsteller – Serie, Miniserie oder Fernsehfilm nominiert wurde und den Critics‘ Choice Television Award als Bester Nebendarsteller gewann.